梯度、散度与旋度

转载 2020-10-12 16:13  阅读 19 次 评论 0 条

本篇将介绍基于矢量运算所得到的三个重要物理概念:梯度(Gradient)、散度(Divergence)和旋度(Curl)。关于矢量的基本运算见前文:

图标

1. 哈密尔顿算子:\(\nabla\) -nabla

在介绍梯度等概念之前,首先引入CFD非常常见的运算符之一:\(\nabla\),它是某一物理量在三个坐标方向的偏导数的矢量和,定义如下:

\(\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\textbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\textbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\textbf{k}\)

2. 梯度(Gradient)

当 \(\nabla\) 作用于标量 \(s \) 时即可得到该标量在空间中的梯度,下面列出了CFD中梯度的各种表达形式:

\(\textit{grad}\ s=\nabla\cdot s=\nabla s=\frac{\partial s}{\partial x_i}=\frac{\partial s}{\partial x}\textbf{i}+\frac{\partial s}{\partial y}\textbf{j}+\frac{\partial s}{\partial z}\textbf{k}\)

可以看出标量场的梯度是一个矢量场,它表示\(s\) 在空间某一位置沿某一方向的变化量。如果想要的到 \(s\) 在某一特定方向 \(\textbf{e}_l\)(方向 \(l \) 上的单位矢量) 上的梯度,即方向导数,则可以根据矢量点乘的几何意义来进行计算:

\(\frac{ds}{dl}=\nabla s\cdot \textbf{e}_l=\Vert\nabla s\Vert cos(\nabla s, \textbf{e}_l)\)

由此可见,当 \(cos(\nabla s, \textbf{e}_l)=1\) ,即空间任意方向 \(l \) 与梯度方向一致时沿该方向具有最大梯度,因此 \(\nabla s\) 代表了空间中任意点上梯度变化最大的方向和变化量,而且 \(\nabla s\) 垂直于该点处的等值线或等值面。

3. 散度(Divergence)

根据矢量点乘的运算规则,\(\nabla\) 与一个矢量的点乘是一个标量,它代表了矢量场的散度:

\(div\ \textbf{v}=\nabla \cdot \textbf{v}=\frac{\partial u_i}{\partial x_i}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\)

可以看出矢量的散度是一个标量,在CFD中它表示空间中某一区域流入或流出的矢量的多少,比较典型的例子有点源或者点汇。如下图是一个点汇,周围的矢量均流向该点。

点汇周围的矢量场(旋度为0)

  • 标量的梯度为矢量,因此对该矢量可以继续求散度,从而引入拉普拉斯算子 \(\nabla^2\) :

\(\nabla \cdot (\nabla s)=\nabla^2s=\frac{\partial^2 s}{\partial x^2_i}= \frac{\partial^2 s}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 s}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 s}{\partial z^2}\)

上式代表了梯度的散度,可以看出标量经过拉普拉斯算子运算以后仍然是标量。

  • 矢量的散度为标量,因此对该标量可以继续求梯度:

\(\nabla \cdot(\nabla \cdot \textbf{v})= \nabla^2 \textbf{v}= \nabla^2 u_i= (\nabla^2 u)\textbf{i}+(\nabla^2 v)\textbf{j}+(\nabla^2 w)\textbf{k}\)

3. 旋度(curl)

旋度是由 \(\nabla\) 与矢量的叉乘得到,它的运算结果是一个矢量,代表了矢量做旋转运动的方向和强度:

\(\nabla \times \textbf{v}= (\frac{\partial}{\partial x}\textbf{i}+\frac{\partial}{\partial x}\textbf{j}+\frac{\partial}{\partial x}\textbf{k})\times (u\textbf{i}+v\textbf{k}+w\textbf{k})= \begin{bmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} &\textbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u & v & w \end{bmatrix}\)

\(=(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z})\textbf{i}+(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x})\textbf{j}+(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})\textbf{k}\)

一个典型的有旋流场是点涡,如下图所示,它展示了一个散度为0的有旋矢量场。

点涡周围的矢量场下一篇将开始介绍张量在CFD中的应用。

参考资料

[1] Moukalled, F., Mangani, L., and Darwish, M.The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics : An Advanced Introduction with OpenFOAM and Matlab. 2016.

本文地址:http://51blog.net/?p=11722
关注我们:请关注一下我们的微信公众号:扫描二维码广东高校数据家园_51博客的公众号,公众号:数博联盟
温馨提示:文章内容系作者个人观点,不代表广东高校数据家园_51博客对观点赞同或支持。
版权声明:本文为转载文章,来源于 燕飞残月天 ,版权归原作者所有,欢迎分享本文,转载请保留出处!
NEXT:已经是最新一篇了

发表评论


表情